Zachowanie Betonu pod Obciążeniem: Analiza Naprężeń i Odkształceń

Beton, będący jednym z najpowszechniej stosowanych materiałów konstrukcyjnych na świecie, charakteryzuje się złożonym zachowaniem mechanicznym pod wpływem działających obciążeń. Zrozumienie relacji między naprężeniem a odkształceniem jest kluczowe dla projektowania bezpiecznych i trwałych konstrukcji. W niniejszym artykule zgłębimy te zagadnienia, analizując różne rodzaje deformacji betonu, wpływ czynników czasowych oraz specyfikę jego reakcji na obciążenia.

Podstawowe Pojęcia: Naprężenie i Odkształcenie

Zanim przejdziemy do specyfiki betonu, warto przypomnieć fundamentalne definicje dotyczące sił działających na materiały i ich reakcji. Obiekty fizyczne lub ośrodki ulegają deformacji pod wpływem sił zewnętrznych, takich jak zgniatanie, ściskanie, rozrywanie, skręcanie, ścinanie czy rozciąganie. Zmiana kształtu spowodowana działaniem siły nazywana jest deformacją.

W fizyce, dwa terminy opisują siły na obiektach podlegających deformacji: naprężenie (ang. stress) i odkształcenie (ang. strain). Naprężenie to wielkość opisująca wartość sił powodujących deformację. Jest ono ogólnie definiowane jako siła na jednostkę powierzchni. Kiedy siły oddziałują na przedmiot i powodują jego wydłużenie, podobnie jak przy rozciąganiu elastycznej taśmy, takie naprężenie nazywamy naprężeniem rozciągającym. Kiedy siły powodują ściskanie przedmiotu, wówczas mówimy o naprężeniu ściskającym. W sytuacji, gdy obiekt jest ściskany ze wszystkich stron, jak okręt podwodny w głębi oceanu, nazywamy to naprężeniem objętościowym. W innych sytuacjach, gdy działające siły nie są ani rozciągające, ani ściskające, a działają stycznie do powierzchni obiektu, nazywamy je siłami ścinającymi, a naprężenie, które powodują, nazywamy naprężeniem ścinającym. Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal (Pa).

Obiekt lub ośrodek pod wpływem naprężania ulega deformacji. Wielkość, która opisuje tę deformację, nazywa się odkształceniem. Odkształcenie podawane jest albo jako względna zmiana długości (dla naprężeń rozciągających), albo jako zmiana objętości (dla naprężeń objętościowych) lub geometrii (dla naprężeń ścinających). Dlatego odkształcenie jest wartością bezwymiarową. Odkształcenie pod wpływem naprężenia rozciągającego nazywamy odkształceniem rozciągającym (lub liniowym), odkształcenie pod wpływem naprężenia objętościowego nazywa się odkształceniem objętościowym, a spowodowane naprężeniem ścinającym - odkształceniem ścinającym.

Im większe naprężenie, tym większe odkształcenie, jednakże zależność między odkształceniem a naprężeniem nie musi być liniowa. Tylko gdy naprężenie jest wystarczająco małe, odkształcenie powodowane naprężeniem pozostaje wprost proporcjonalne do wartości naprężenia. Stałą proporcjonalności w tym stosunku nazywamy modułem sprężystości. Widzimy też, że gdy obiekt charakteryzuje się dużą wartością modułu sprężystości, to efekt naprężenia jest niewielki. Z drugiej strony, niewielki moduł sprężystości oznacza, że naprężenie powoduje duże odkształcenie i zauważalne deformacje. Moduł sprężystości dla naprężenia rozciągającego nazywa się modułem Younga, dla naprężenia objętościowego - modułem Helmholtza, a dla naprężenia ścinającego - modułem Kirchhoffa. Są one cennymi danymi dla przemysłu i osób zaangażowanych w prace inżynieryjne i budowlane.

Specyfika Zachowania Betonu: Odkształcenia Sprężyste, Pełzanie i Skurcz

Podobnie jak wiele innych materiałów konstrukcyjnych, beton jest do pewnego stopnia materiałem sprężystym. Oznacza to, że po odciążeniu powraca do swojego pierwotnego kształtu, przynajmniej w pewnym zakresie naprężeń. Typowa krzywa naprężenie-odkształcenie dla próbki betonowej, obciążanej i odciążanej przy ściskaniu lub rozciąganiu, ilustruje ten związek. Jak widać, pojęcie modułu Younga, czyli współczynnika sprężystości, można odnieść ściśle jedynie do prostej części krzywej naprężenie-odkształcenie, albo - jeśli krzywa ta nie zawiera odcinków prostych - do stycznej do tej krzywej w początku układu współrzędnych. W tym ostatnim przypadku byłby to tzw. początkowy, styczny współczynnik sprężystości, posiadający niewielkie znaczenie praktyczne. Możliwe jest także wyznaczenie stycznego współczynnika sprężystości w dowolnym punkcie krzywej; współczynnik taki dotyczyłby jedynie niewielkich zmian obciążenia powyżej lub poniżej wartości obciążenia w owym punkcie.

Jednakże, zachowanie betonu wykracza poza czystą sprężystość. Przy długotrwałym obciążeniu odkształcenia betonu narastają w czasie, co określamy jako pełzanie. Jest to zjawisko polegające na stopniowym deformowaniu się materiału pod stałym obciążeniem. Dodatkowo i niezależnie od tego, czy beton jest obciążony czy nie, jego wymiary zmniejszają się przy wysychaniu, co nazywamy skurczem. Wartości skurczu i pełzania są tego samego rzędu co odkształcenia sprężyste przy zwykłym zakresie naprężeń i dlatego należy zawsze uwzględniać wszystkie te różne rodzaje odkształceń.

Wpływ Prędkości Obciążania i Czynników Czasowych

Wartości obserwowanych odkształceń oraz krzywizna krzywej naprężenie-odkształcenie zależą przynajmniej częściowo od prędkości przykładania naprężeń. Przy nadzwyczaj gwałtownym przyłożeniu obciążenia, na przykład w czasie krótszym niż 0,01 sekundy, obserwowane odkształcenia zostają bardzo zmniejszone, a krzywizna krzywej staje się nieznaczna. Zwiększenie czasu obciążania z 5 sekund do około 2 minut może podwyższyć odkształcenia o 15%. Jednak w zakresie od 2 do 10 (lub nawet do 20) minut - co jest czasem potrzebnym zazwyczaj do zbadania próbki w zwykłej maszynie wytrzymałościowej - wzrost odkształcenia podczas działania całego lub części przykładanego obciążenia jest spowodowany pełzaniem betonu. Wspomniana zależność odkształceń natychmiastowych od prędkości obciążania utrudnia oddzielenie odkształceń sprężystych od odkształceń pełzania.

Do celów praktycznych przyjęto dość dowolne rozróżnienie: odkształcenie pojawiające się w czasie obciążania jest uważane za sprężyste, natomiast późniejszy wzrost odkształcenia uważa się za pełzanie. W związku z tym, dla potrzeb praktycznych, często stosuje się tzw. sieczny współczynnik sprężystości, którego sens jest związany z tą definicją. Nie istnieje znormalizowana metoda określania tego współczynnika. W niektórych laboratoriach pomiar przeprowadza się przy naprężeniach równych 3 do 4 MN/m², w innych przy naprężeniach stanowiących 15%, 25%, 33% lub 50% wytrzymałości doraźnej. Ponieważ sieczny współczynnik sprężystości maleje wraz ze wzrostem naprężeń, należy zawsze podawać wartość naprężenia, przy której współczynnik ten został określony.

Istnieją dowody na to, że przy równomiernym obciążeniu udarowym (warunek trudny do osiągnięcia w praktyce) wytrzymałość na uderzenie betonu jest znacznie większa niż jego wytrzymałość statyczna na ściskanie; twierdzi się, że różnica sięga 30-80%. Ten wzrost wytrzymałości mógłby wyjaśnić większą zdolność betonu do pochłaniania energii przy równomiernym obciążeniu udarowym.

Analiza wpływu obciążenia dynamicznego na materiały budowlane

Wpływ Pełzania i Skurczu na Konstrukcje

Pełzanie betonu ma wpływ przede wszystkim na przemieszczenia konstrukcji, w tym ugięcia belek. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych, pełzanie prowadzi do redystrybucji sił w funkcji sztywności ich części składowych. Na skutek pełzania z czasem zwiększają się odkształcenia i przemieszczenia konstrukcji - w ślad za czym idzie zwykle zmniejszanie się naprężeń w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych.

Skurcz z kolei istotnie zwiększa siły przekrojowe w przypadku ograniczenia swobody odkształceń, na przykład przy skrępowaniu konstrukcji lub jej fragmentu.

Ocena pełzania, skurczu, ugięć itd. dokonywana jest w dniu „t”, który może być dowolny i znacznie mniejszy od okresu użytkowania obiektu $t\infty$. Może on wypaść przed lub po osiągnięciu przez beton okresu dojrzałości. Zakładamy, że pielęgnacja betonu jest prowadzona zgodnie z zaleceniami. Pielęgnację rozpoczynamy więc natychmiast po zabudowie mieszanki betonowej w konstrukcji (elemencie), a temperatura powierzchni betonu nie może być niższa niż 0°C do momentu, gdy strefa powierzchniowa osiągnie wytrzymałość minimum 5 MPa. Okres pielęgnacji we wczesnym okresie dojrzewania betonu, oznaczony jako {$[0, ts]$}, zależy głównie od rodzaju cementu oraz od temperatury i wilgotności, w której pielęgnacja jest prowadzona.

Specjalnie wyróżniono wiek dojrzałości betonu $td$, ponieważ nominalny wiek betonu w dniu obciążenia podlega modyfikacji (wydłużeniu lub skróceniu) zależnie od temperatury otoczenia, w której beton dojrzewał. Nominalny wiek dojrzałości betonu $td$ to wiek, w którym beton osiąga wytrzymałość założoną w projekcie. Zasadniczo wynosi on 28 dni, ale przy wolnym i bardzo wolnym wzroście wytrzymałości może się wielokrotnie wydłużyć.

Okres wznoszenia konstrukcji zwykle trwa dłużej niż okres pielęgnacji analizowanego elementu żelbetowego, ale może zakończyć się przed lub po osiągnięciu przez beton dojrzałości. Obciążenie konstrukcji zmienia się wielokrotnie podczas budowy oraz użytkowania obiektu budowlanego.

• $t{o1}$ oznacza rozpoczęcie wznoszenia konstrukcji. Konstrukcja jest stopniowo obciążana obciążeniami montażowymi. Kombinacja montażowa obciążeń $Fm$ oznacza obciążenia zgodnie z normą. W szczególności przyjmujemy, że obciążenia użytkowe od robotników oraz narzędzi i sprzętu ręcznego $Q{ca}$ nie przekroczą $1 kN/m^2$. Obciążenia ruchome $Q{cb}$ oraz powierzchnie składowania materiałów budowlanych na stropach będą dopuszczone w projekcie, a obciążenia klimatyczne na stropodachy mogą wynosić maksymalnie 30% obciążenia, mogącego wystąpić podczas eksploatacji lub są określone indywidualnie. Podstawowym obciążeniem montażowym jest ciężar własny surowej konstrukcji.
• $t{o2}$ oznacza zakończenie wznoszenia konstrukcji nośnej i rozpoczęcie robót wykończeniowych, wśród których z punktu widzenia ugięć istotne jest postawienie ścian działowych oraz ścian kurtynowych (przeszkleń). W dniu $t{o2} = t_k$ następuje dociążenie konstrukcji poprzez dołożenie obciążeń ściankami działowymi i warstwami wykończeniowymi. Szczególnie istotne jest zachowanie ścianek działowych, które w okresie eksploatacji często rysują się na skutek nadmiernych ugięć podpierającego stropu pod obciążeniami eksploatacyjnymi.
• $t{o3} = tu$ oznacza zakończenie robót wykończeniowych i oddanie obiektu do użytkowania. Przyjmujemy, że od tego dnia konstrukcja jest obciążona finalnie i zakładamy, że w tym okresie odpowiednia jest kombinacja „prawie stała” obciążeń charakterystycznych, ujmująca ciężar ścian działowych jeszcze bez wykończeniowych warstw stropowych. Zakładamy, że w okresie eksploatacji dział kombinacja charakterystyczna „częsta”.

Stany granicznych użytkowalności, a mianowicie: zarysowania, ugięcia i drgania konstrukcji należy sprawdzać pod działaniem obciążeń w kombinacjach charakterystycznych.

Ugięcia i związane z nimi pełzanie oraz skurcz betonu są zależne od czasu. Analiza stanów zarysowania i ugięć wyznacza się pod działaniem kombinacji charakterystycznych obciążeń, to znaczy takich, które są wywołane charakterystycznymi siłami przekrojowymi. Poszczególne okresy życia elementu i temperatury, notowane w dzienniku budowy oraz eksploatacji obiektu, mogą być analizowane.

Modelowanie Efektywnych Właściwości Betonu

W celu uproszczenia analizy wprowadza się zastępczy, długotrwały, efektywny moduł odkształcalności betonu $E{c,ef}$. Analiza prowadzona jest wtedy jak dla liniowo sprężystego betonu i stali, po postawieniu $Ec = E_{c,ef}$.

Wartości bazowe współczynnika pełzania $\varphi0$ dla wilgotności RH=50%, temperatury dojrzewania T=$20^\circ C$, wieku obciążenia betonu $to = 28 \, dni$ w dniu $t= 50 \, lat + 7 \, dni$, czyli dla okresu $\Delta to = 50$ lat oraz dla miarodajnego wymiaru elementu $h0= 100 \, mm$, podaje się orientacyjnie w tabelach. Efektywna sztywność przekroju betonowego uwzględniająca zarysowanie przekroju oraz pełzanie pręta jest żmudna do ścisłego wyznaczenia. Wpływają na nią czynniki takie jak $Kc$ - współczynnik zależny od wpływów zarysowania, pełzania itd. Zgodnie z procedurami dedykowanymi dla słupów, w przypadku siły osiowej $N{Ed}=0$, współczynniki $K_c=0$. Taki przypadek mamy dla belek zginanych. Prowadzi to do błędnych wyników procedur numerycznych. Wartość 1/3 współczynnika redukcji sztywności belek żelbetowych stosuje się powszechnie w praktyce inżynierskiej.

Pełzanie oraz skurcz betonu można oszacować według formuł normowych. Kalkulator pełzania i skurczu uwzględniający wytyczne normowe jest dostępny i pozwala na wyznaczanie współczynników pełzania, skurczu oraz ugięć, stosując podział na okresy zdefiniowane w odpowiednich dokumentach.

Wartość skurczu betonu zależy od wielu czynników, w tym od składu mieszanki betonowej, warunków pielęgnacji oraz środowiska, w którym pracuje. Wiek betonu $t$ jest czasem od dnia ułożenia betonu (0) do dnia $t$ oceny zjawiska. Suma obejmuje okres dojrzewania {$[0, t{d,o}]$}, gdzie $t{d,o}$ jest wiekiem betonu w dniu obciążenia $t_o$, ale nie więcej niż wiek betonu w dniu obciążenia.

Wilgotność otoczenia $RH$ ma kluczowe znaczenie. Można w uproszczeniu przyjąć, że średnia wilgotność powietrza zewnętrznego w regionie nadmorskim wynosi 52%, a w pozostałych regionach 48%. Oczekiwana wilgotność w pomieszczeniach do pobytu ludzi wynosi 40-60%. Beton wykonany z zastosowaniem cementu CEM 32,5 N, czyli krótkotwardniejącego klasy „S”, będzie wykazywał specyficzne cechy skurczu.

Ogólne Modele Mechaniki Materiałów w Kontekście Betonu

Model ciała sztywnego to przykład wyidealizowanego obiektu, który nie ulega deformacji pod wpływem sił zewnętrznych. Jest on bardzo użyteczny przy analizie układów mechanicznych, a wiele obiektów fizycznych jest sztywnych w szerokim zakresie warunków. Stopień, w jakim obiekt może być postrzegany jako sztywny, zależy od właściwości fizycznych materiału, z którego został wykonany. Na przykład piłeczka do ping-ponga z tworzywa sztucznego jest krucha, a piłka tenisowa z gumy jest elastyczna, gdy działa na nią siła zgniatająca. Jednak w innych okolicznościach obie mogą odbijać się jak ciała sztywne. Podobnie projektant protez kończynowych może przybliżać mechanikę kończyn ludzkich, modelując je jako ciała sztywne, jednakże rzeczywiste połączenia kości i tkanek są elastyczne.

W dalszej części, przejdziemy od sił wpływających na ruch obiektu do tych, które wpływają na kształt obiektu. Zmiana kształtu spowodowana działaniem siły nazywana jest deformacją. Ulegają jej obiekty fizyczne lub ośrodki pod wpływem sił zewnętrznych.

Naprężenie ściskające w kolumnie ilustruje, jak ciężar obiektu rozkłada się na jego przekrój. Na przykład, rzeźba o ciężarze 10 000 N spoczywa na poziomej powierzchni u szczytu pionowej kolumny. Obliczając ciężar fragmentu kolumny i dzieląc przez pole przekroju poprzecznego, uzyskujemy naprężenie ściskające. Zwróćmy uwagę, że normalna siła działająca na pole przekroju kolumny nie jest stała na całej jej długości, ale zmienia się od swojej najmniejszej wartości na górze do największej wartości na dole kolumny.

Podobnie, w przypadku pręta poddanego rozciąganiu, naprężenie rozciągające wywołane ciężarem platformy oblicza się zgodnie z odpowiednimi wzorami. Obliczając naprężenie i mnożąc przez długość pręta podzieloną przez moduł sprężystości, otrzymujemy wydłużenie. Podobnie jak w przykładzie z kolumną, także tutaj naprężenie rozciągające nie jest jednolite wzdłuż całego pręta.

Obiekty często doświadczają naprężeń ściskających i rozciągających jednocześnie. Przykładem może być długa półka zastawiona ciężkimi książkami, która ugina się w środku pod ich ciężarem. Górna powierzchnia półki podlega naprężeniu ściskającemu, a dolna naprężeniu rozciągającemu.

Naprężenie i Odkształcenie Objętościowe

Kiedy zanurzamy się w wodzie, czujemy siłę naciskającą na każdą część ciała ze wszystkich stron. To, czego doświadczamy, jest to naprężenie objętościowe, czyli ciśnienie. Naprężenie objętościowe zawsze ma tendencję do zmniejszania objętości otoczonej powierzchnią zanurzonego obiektu. Siły ściskania zawsze są prostopadłe do powierzchni zanurzonego obiektu. Objętość obiektu pod rosnącym naprężeniem objętościowym zawsze ulega zmniejszeniu. Jest to związane z modułem Helmholtza (modułem sprężystości objętościowej), który opisuje odporność materiału na zmianę objętości pod wpływem ciśnienia. Odwrotność modułu Helmholtza nazywa się współczynnikiem sprężystości objętościowej bądź współczynnikiem ściśliwości. Określenie ściśliwość jest stosowane w odniesieniu do płynów (gazów i cieczy). Ciecz charakteryzująca się dużym współczynnikiem ściśliwości jest stosunkowo łatwa do sprężania.

Prasa hydrauliczna jest przykładem zastosowania zasady przenoszenia ciśnienia w płynach. Gdy mały tłok prasy hydraulicznej przemieszcza się w dół, ciśnienie w oleju przenosi się przez całą jego objętość do dużego tłoka. Niewielka siła przyłożona do małego tłoka powoduje powstanie siły nacisku o dużej wartości wywieranej przez duży tłok na podnoszony lub ściskany obiekt.

Naprężenia i Odkształcenia Ścinające

Koncepcje naprężenia i odkształcenia ścinającego dotyczą jedynie ciał stałych. Budynki i płyty tektoniczne to przykłady obiektów narażonych na naprężenia ścinające. Odkształcenie ścinające występuje, gdy do przeciwległych powierzchni ciała stałego przyłożone są stycznie dwie równoległe przeciwnie skierowane siły o równej wartości, nie powodujące odkształcenia w kierunku poprzecznym do kierunku siły. Odkształcenie ścinające jest spowodowane naprężeniem ścinającym. To ostatnie wywołują siły równoległe do powierzchni. Modułem Kirchhoffa jest stała proporcjonalności określona przez stosunek naprężenia do odkształcenia.

Stary regał na książki może być przykładem obiektu poddanego naprężeniom ścinającym. Osoba sprzątająca stara się przesunąć ciężki regał, naciskając stycznie do powierzchni górnej półki. Jedyny zauważalny efekt tego wysiłku jest podobny do pokazanego na ilustracji i znika on, gdy osoba przestaje naciskać. Obliczając moduł Kirchhoffa regału na podstawie wymiarów, siły stycznej i spowodowanego przez nią przesunięcia, można ocenić jego sztywność na ścinanie. Jeśli w tym przykładzie osoba nacisnęłaby zbyt mocno na półkę, to spowodowane naciskiem ścinanie mogłoby zniszczyć regał.